Vi förstår att det är läkarens rekommendation för Josh att bära en skyddande ansiktsmask. Bör ordet Doktor ha och apostrof i den här meningen?

Ja, ordet "läkares" borde ha en apostrof i den här meningen.

Apostrof används för att indikera att något tillhör någon eller något annat. I det här fallet tillhör ansiktsmasken läkaren. Därför är det korrekta sättet att skriva meningen:

"Vi förstår att det är läkarens rekommendation för Josh att bära en skyddande ansiktsmask."