Vad är sjukhusformeln? L'Hospitals regel förklarad

Vad är sjukhusformeln?

Sjukhusformeln – i läroböckerna oftast kallad l'Hospitals regel – är en metod inom matematisk analys som används för att beräkna gränsvärden av kvoter som leder till obestämda uttryck.

Regeln säger att om

$$ \lim\limits_{x\to a} f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0 \quad \text{eller} \quad \pm\infty, $$

det vill säga om kvoten ger en obestämd form av typen \(\frac{0}{0}\) eller \(\frac{\infty}{\infty}\), men

$$ \lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \text{existerar}, $$

då gäller

$$\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

Alternativ formulering i läroböcker

I vissa böcker skrivs regeln även så här: Om \( h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \), \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a} g(x) = 0\), \( g'(x) \ne 0 \), samt om de ensidiga derivatorna av kvoten \( [h'(x^+), h'(x^-)] \) existerar, eller om \( h'_-(x)=h'_+(x)=L \), då är

$$ \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x\to a} h(x)=\lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L.$$

När ska regeln användas?

Sjukhusformeln är endast tillämplig när gränsvärdet ger en obestämd form, vanligast:

• \(\frac{0}{0}\) – exempelvis \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)
• \(\frac{\infty}{\infty}\) – exempelvis \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x}\)

Exempel

Beräkna \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\). Både täljare och nämnare går mot 0, vilket ger den obestämda formen \(\frac{0}{0}\). Enligt sjukhusformeln deriveras täljare och nämnare var för sig:

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1. $$

Viktigt att tänka på

• Kontrollera alltid att gränsvärdet verkligen ger en obestämd form – annars stämmer inte regeln.
• Om \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) inte existerar kan metoden inte användas, men det utesluter inte att originalgränsvärdet ändå finns.
• Regeln får upprepas flera gånger, så länge kvoten fortsätter ge en obestämd form.
• Andra obestämda former som \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(0^0\), \(1^\infty\) och \(\infty^0\) måste först skrivas om till kvoter av typen \(\frac{0}{0}\) eller \(\frac{\infty}{\infty}\).

Varför heter det sjukhusformel?

Regeln är uppkallad efter den franske matematikern Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), som publicerade den i sin lärobok Analyse des infiniment petits (1696) – den första läroboken i differentialkalkyl. Eftersom ordet hôpital på franska betyder sjukhus har det skämtamma namnet "sjukhusformeln" blivit en vanlig benämning bland svenska studenter. Historiskt var det dock troligen Johann Bernoulli som först utvecklade och bevisade regeln.